Анотації 

Щелков А.Г. Еволюцiя вiльних поверхней, зв’язаних з розв’язками квазiлiнiйних параболiчних рiвнянь довiльного порядку, що вироджуються.-Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01. 01. 02 - диференцiальнi рiвняння.-Iнститут прикладної математики i механіки НАН України, Донецьк, 1999.

   Дисертацiя присвячена дослiдженню властивостей загальних параболiчних рiвнянь, характерною особливiстю яких є подвiйне виродження. Основнi результати роботи полягають у наступному:
   Одержано точнi умови наявностi властивостей iнерцiя та зменшення розмiрiв носiя.
   Отримано оцiнки, якi повнiстю описують стартовий рух носiя розв’язку в залежностi вiд локальних властивостей початковоі функцiї.
   Отримано умови, якi гарантують наявнiсть локалiзацiї та обмеженість розв’язків задач Коши-Неймана для параболiчних рiвнянь загального виду, у випадку, коли гранична функцiя необмежено зростає з ростом часу до деякого фіксованого Т.
   Зменшено умови на регулярнiсть граничної функцiї, якi також гарантують ефекти , перерахованi у пункті 3).
   Узагальнено результати про обмеженість розв’язку задачi Кошi-Неймана для класичного рiвняння теплопровiдностi майже всюди в будь-якій строго внунрiшної підобластi у випадку граничного режиму з загостренням.
   Результати дисертацiї мають теоретичний характер. Вони можуть бути використанi для порiвняльного аналiзу рiзних властивостей розвязків загальних параболiчних задач.
   Ключовi слова: параболiчнi рiвняння, дифузiя, абсорбцiя, стартовий рух, режими з загостренням, локалiзацiя, обмеженiсть.

Щелков А.Г. Эволюция свободных поверхностей, связанных с решениями квазилинейных вырождающихся параболических уравнений произвольного порядка. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01. 01. 02 - дифференциальные уравнения. - Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 1999.

   В диссертации изучается вопрос о том, каким образом локальные свойства некоторой интегральной нормы начальной функции (при различных соотношениях на параметры уравнения) влияют на характер движения границы носителя решения вырождающегося параболического уравнения произвольного порядка при малых значениях времени. Как оказалось, при достаточно сильном поглощении тепла (в терминах уравнения теплопроводности) для уравнения типа “медленной” диффузии существуют "критические" ограничения на поведение этой нормы, такие, что носитель либо уменьшается, либо остается неподвижным, либо начинает двигаться в сторону своего увеличения. Даны оценки стартовой скорости движения границы носителя. Как следствие получен такой результат: если носитель начальной функции компактен, то носитель решения сначала будет расширяться, а затем начнет сужаться, то есть решение будет обладать свойством, аналогичным свойству решения Р.Кершнера. Это означает, что решение не распространится далее некоторого шара конечного радиуса (эффект локализации) и даже обратится в нуль за конечный промежуток времени. При других значениях на параметры уравнения, однако также при q<p (“медленная” диффузия) найдены условия на поведение начальной функции, которые обеспечивают инерцию решения, и также описаны стартовые оценки скорости изменения границы носителя. Для уравнения типа “быстрой” диффузии найдены условия, гарантирующие обратное движение фронта и инерцию решения.
   В рамках поставленной проблематики особый интерес представляет следующий вопрос: какими свойствами будет обладать решение смешанной задачи, если на границе оно изменяется в так называемом режиме с обострением, то есть "обращается" в бесконечность в некоторый конечный момент времени T (T-момент обострения ). Как оказалось, несмотря на неограниченное возрастание граничной функции, задача может обладать свойствами локализации и инерции, и даже более того решение может быть ограниченным в любой строго внутренней подобласти исходной области для почти всех значений времени. Нахождение точных условий локализации и описание структуры множества ограниченности решения являются основными вопросами в данной тематике. В диссертации получен ряд результатов в этом направлении. Найден, например, “предельный” рост граничной функции, при котором решение задачи Коши-Неймана для общего квазилинейного параболического уравнения второго порядка еще будет локализовано и его множество сингулярности сосредоточено на границе. При наличии “сильного” поглощения аналогичные результаты имеют место при любом росте граничной функции. Также рассмотрен случай уравнения, которое включает в себя классическое уравнение теплопроводности, для которого найдены ограничения на рост граничной функции, гарантирующие, что множество сингулярности решения задачи Коши-Неймана сосредоточено на границе исходной области.
   Таким образом, в диссертации получены следующие результаты. Установлены точные оценки наличия свойств инерции и уменьшения размеров носителя, оценки, которые полностью описывают стартовое движение границы носителя в зависимости от локальных свойств начальной функции в случае уравнений быстрой и медленной диффузии. Получены условия, которые гарантируют наличие локализации и ограниченности решений задач Коши-Неймана для параболических уравнений общего вида, в случае, когда граничная функция неограниченно возрастает с ростом времени. Уменьшены условия на регулярность граничной функции, которые тоже гарантируют эффекты, перечисленные выше. Получены результаты об ограниченности решения задачи Коши-Неймана для некоторого обобщения классического уравнения теплопроводности почти всюду в любой строго внутренней подобласти в случае граничных режимов с обострением.
   Результаты диссертации имеют теоретический характер. Они могут быть использованы для сравнительного анализа различных свойств решений общих параболических задач.
   Ключевые слова: параболические уравнения, диффузия, абсорбция, стартовое движение, режимы с обострением, локализация, ограниченность.

Shchelkov A.G. Evolution of free surfaces that connected with solutions of quasilinear degenerate parabolic equations of arbitrary order.-Manuscript.

Thesis for the degree of Candidate of Science in Physics and Mathematics; speciality 01.01.02-differential equations, Institute of Applied Mathematics and Mechanics of Nat.Ac.Sci. of Ukraine, Donetsk,1999.

   The thesis is devoted to the study of properties of generalized parabolic equations with double degeneration. Exact conditions for appearing "inertia", decreasing of sizes of support and estimates that describe the starting rate for moving of support's boundary are obtained. The conditions that guaranteing appearance of localization and boundedness of solutions generalized parabolic equations with double degeneration if boundary function is peaking are obtained. The conditions on regularity of boundary function for such problems are decreased. The results on boundedness of solutions Cauchy-Neumann problem for some generalization of classic heat equation for regime with peaking are obtained as well. These results make it possible to investigate some properties of different parabolic equations.
   Key words: parabolic equations, diffusion, absorption, starting move, regimes with peaking, localization, boundedness.

Скачати автореферат дисертації безкоштовно (повна версія)
Еволюцiя вiльних поверхней, зв’язаних з розв’язками квазiлiнiйних параболiчних рiвнянь довiльного порядку, що вироджуються